数学皇冠上的明珠

发布人:朱亚忠  阅读次数:  发布时间:2017-04-10

数学皇冠上的明珠

——哥德巴赫猜想简介

陈金飞

自然数结构的中心是素数。对素数的研究导致了当代数学中一个最迷人领域的发展,那就是数论。素数在数论中有着独特的魅力,源于它的问题常常能很简单地表述出来,但是要证明或否证就极其困难。数论中的许多问题常用猜想来表述,例如“哥德巴赫猜想”,它被誉为数学皇冠上一颗耀眼的明珠。  

一、“哥德巴赫猜想”的提出

哥德巴赫是德国一位中学教师,生于1690年,1723年当选为俄国彼得堡科学院院士。他之所以在数学上久负盛名,是因为他在174267日给当时著名的大数学家欧拉的一封信及后来又写的几封信中提出了关于正整数和素数之间关系的两个推断,用现在确切的话来说,就是:

a)任何一个大于4的偶数,都可以表示成两个奇素数之和;

(b)任何一个大于7的奇数,都可以表示成三个奇素数之和。

这就是著名的哥德巴赫猜想。第一个猜想称之为“偶数哥德巴赫猜想”。例如:6=3+38=3+510=3+712=5+714=7+7……就这样,哥德巴赫对许多偶数进行了验证,都说明这个推断是正确的,但偶数的个数有无穷的,这个推断是否对所有符合条件的偶数都成立呢? 哥德巴赫不能予以证明。

第二个猜想称之为“奇数哥德巴赫猜想”。随意取一个奇数,比如77,可以把它分成三个奇素数之和,77=53+17+7。哥德巴赫对许多奇数进行了验证,发现这个推断也是正确的。同样,他也不能予以证明。

哥德巴赫对于自己的发现实在无法给出证明,因此他就写信给当时最负盛名的大数学家欧拉,请欧拉从理论上来证明这个猜想。经过一段时间的深入研究与反复探索,著名的大数学家欧拉于1742630日的回信中公开承认说:“这个问题我虽然不能证明,但我确信它是正确的。”并将它公之于世以寻求证明。对于叙述如此简单的问题,连首屈一指的数学家都不能证明,“哥德巴赫猜想”由此成为数学皇冠上一颗可望而不可即的“明珠”。

二、“哥德巴赫猜想”的研究历程

“哥德巴赫猜想”自1742年被提出以来,已历时两个半世纪之多,但对这一猜想的研究,直到20世纪初才有本质性的进展。

1.“奇数哥德巴赫猜想”的证明。

1920年,英国数学家哈罗德·哈代和李特尔伍德首先将他们创造的圆法应用于数论难题,“哥德巴赫猜想”研究长期停滞的局面也出现了松动。1923年,他们在“黎曼猜想”正确的前提下证明了每个充分大的奇数都是三个奇素数之和。1937年,苏联数学家维诺格拉多夫利用圆法和自己创造的指数和估计法无条件地证明了“奇数哥德巴赫猜想”。这是“哥德巴赫猜想”证明的第一个突破,不过维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇,与“哥德巴赫猜想”的要求仍相距甚远。沿着另一条思路,1995年,莱塞克·卡涅茨基证明了在“黎曼猜想”成立的前提下,奇数都可表示为最多五个素数之和。2012年,陶哲轩在无需“黎曼猜想”的情形下证明了这一结论。2013513日,法国数论领域的研究员哈洛德·贺欧夫各特,在线发表两篇论文宣布彻底证明了“奇数哥德巴赫猜想”。贺欧夫各特综合使用了圆法、筛法和指数和等传统方法,把下界降低到了1030左右,贺欧夫各特的同事用计算机验证了1030以下的所有奇数都符合猜想,从而完成了“奇数哥德巴赫猜想”的全部证明。

2.“偶数哥德巴赫猜想”的证明

不过,圆法用于“偶数哥德巴赫猜想”效果却并不令人鼓舞。当然,有许多人做了一些具体的验证工作,从19世纪末到20世纪初,数学家们已经对大到10000甚至更大的一些偶数进行试验验证,发现这个猜想是正确的。有人甚至验算了33×109以内所有满足条件的偶数,仍然没有发现例外。但是,偶数的个数是无穷的,几十亿个偶数代表不了全体偶数,因此对全体偶数而言,这个猜想是否还正确呢? 还不能肯定。

 1900年,德国的希尔伯特在展望新世纪——20世纪数学发展前景时,勉励大家在新世纪里解决这个数学难题。由于问题实在是太难了,数学家们开始研究较弱的命题:“任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子个数不超过b个的数之和”记作“a+b,这样“哥德巴赫猜想”就是要证明“1+1”成立。在此后的半个多世纪里人们采用了各种不同的方法(沿着不同的路径),进行了大量的研究和探索,不断地向数学皇冠逼近。                                                                                                                                                                                                     

1920年,挪威数学家布朗用筛选法做出了证明“哥德巴赫猜想”决定性的一步,他证明了“9+9”。1924年,德国的拉特马赫证明了“7+7”。1932年,英国的埃斯特曼证明了“6+6”。1938年,苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。1940年,布赫夕太勃证明了“4+4”。1956年,苏联的维诺格拉多夫证明了命题“3+3”。1956年,我国青年数学家王元证明了“3+4”。1957年,王元证明了“2+3”。

由于证明工作异常艰苦,而且进展缓慢,人们开始怀疑此命题的正确性。但世界上许多数学家并没有为之而放弃,相反,他们不断地开拓新路,使其结论不断地向前推进。1948年,匈牙利数学家瑞尼开创了第二条证明之路,他证明了“1+R”(当时不知R是几,所以它仅是一个定性的证明)1962年,我国数学家、山东大学的潘承洞教授又证明了“1+5”。1963年,中国的王元证明了“1+4”。1965年,苏联的布赫夕太勃和维诺格拉多夫及意大利的朋比利证明了“1+3”。就这样包围圈越来越小,工作也越来越艰巨,每前进一步都异常困难。虽然如此,但离宝塔的尖端“1+1”已越来越近了,这是令人欢欣鼓舞的。19665月,我国青年数学家陈景润在《科学通报》上发表论文证明:任何一个充分大的偶数都可以表示成两个数之和,其中一个是素数,另一个为不超过两个素数的乘积,即“1+2”。这样离最终目标——“1+1”只有一步之遥了。可是由于他的证明过程太复杂了,有二百多页稿纸,没有被全部发表,于是他决定简化证明过程。经过几年的辛勤而艰苦的工作,1973年陈景润在《中国科学》上发表了《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》这篇重要的论文。这篇论文在国际数学界引起了强烈的反响,当时英国数学家哈波斯丹和西德数学家里希特合著的《筛法》正在校印,他们看到了陈景润的论文后,要求暂不印刷,在书中加了一章“陈氏定理”。陈景润的研究成果被公认为是对“哥德巴赫猜想”研究的重大贡献,是“筛法”理论的光辉顶点,被国际数学界称为“陈氏定理”,至今在这一研究领域还保持着领先地位。

三、“哥德巴赫猜想”的研究价值

哥德巴赫猜想的内容十分简洁,但它的证明却异乎寻常的困难。数论泰斗、英国数论学家哈罗德·哈代宣称猜想(1)的困难程度“是可以与数学中任何未解决的问题相比拟的”。

要否证哥德巴赫猜想只需要一个反例,即明确地举出一个大于2的偶数,我们可以检验这个猜想是不成立的。然而,尽管有数以百万计的例子,我们可以确切地证明哥德巴赫猜想对于它们是成立的,却从没有人能够设法举出一个反例来。或许它根本不存在,或许人们只是没有到正确的地方去寻找。

有人认为即使是数学家恐怕也难以想象哥德巴赫猜想会有什么样的实际应用,除了证明它能够给证明者带来荣誉和奖金。大部分的纯数学成果想必会一直保持其纯粹的状态,不会有应用价值。但是一项基础研究没有应用价值并非就没有价值,还可以有学术价值。有一些数学家认为,要证明哥德巴赫猜想需要创造出新的数学方法。新方法一旦被发明,还可以用到其他数学难题的证明。更具重要意义的是,哥德巴赫猜想的研究极大地推动了20世纪解析数论的发展,围绕这些问题的解决而产生的强有力的方法,不仅是数论,而且也是数学其他许多分支的宝贵财富。

本文系江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题“数学史视野下的小学数学教学的案例研究”(批准号:B-a/2013/02/002)的研究成果之一。

参考文献:

 1.李文林.数学史教程【M.北京:高等教育出版社,1999.

2.陈一帆.数学王冠上的钻石——哥德巴赫猜想[J].中学生数学,201220.

3.华兴恒.挑战“数学皇冠上的明珠”[J].云南教育2011Z2.

4.刘刚.三元哥德巴赫猜想被法国数学家彻底证明[J].高等数学研究,20134.

(作者单位:彩票代理手机版,彩票代理安卓版)

本文发表于《小学教学》,2014.09.4849.

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